>> čtěte také o práci na knize oceněné jako významný tvůrčí čin 2010 <<
V dnešní „znalostní společnosti“ se asi takto položená otázka zdá pošetilá. Poučeni zkušeností z populárních soutěží typu Milionář, mají totiž lidé jasno – matematiku přece zná ten, kdo umí bez váhání (případně po dopomoci přítele na telefonu) odpovídat na otázky typu „kde se narodil Kurt Gödel?“.
Narážím tím na samu podstatu nesmyslné záplavy údajů, kterými se v posledních desetiletích společnost opájí, aniž by byla patřičná péče věnována jejich souvislostem a vztahu k vědění samotnému. Naopak, stále méně vidíme rozdíly mezi pojmy „zná“, „umí použít“, „ví, proč něco funguje“. Vytrácí se pochopení rozdílu mezi kvantitativními a kvalitativními údaji, o jasném vymezení vztahu příčiny a důsledku, ani nemluvě.
Samotná data jsou přitom matematizována stále více a po několika stoletích života v Descartovském světě tří prostorových souřadnic a čtvrtého absolutního času lidé skoro úplně ztratili pokoru před nepoznaným a nepochopeným. Žijeme v klamné představě, že spočítat a čísly vyjádřit lze všechno, jen snad potřebujeme občas pořídit silnější počítače a lepší připojení na síť… Hlavně že se vyznáme v termínech „odkud kam“, „odkdy dokdy“ a „co za to“. V podstatě stejným směrem jde deformace celé vzdělávací soustavy, kde je neblahý dopad ještě násoben představami, že teď už stačí jen umět hledat v datech, protože znalosti jsou přeci všeobecně dostupné.
Posuňme se k matematice, kterou bych chtěl diskutovat zároveň jako nástroj i jako způsob myšlení. Matematickým myšlením zde míním striktně logické a prověřitelné vyvozování důsledků z předpokladů, resp. budování a poměřování abstraktních souvislostí a konstrukcí, které lze používat jako více či méně patřičné přiblížení či zjednodušení pro nejrůznější skutečné situace a souvislosti. Pochopitelně takovéto myšlení patří ke kritickému pohledu na informace a svět kolem nás, používají je v jistém smyslu skoro všichni badatelé a nemusí kvůli tomu být matematiky.
My matematici jen dotahujeme abstrakci ad absurdum tím, že sami pracujeme ve formálně vytvořeném abstraktním světě a souvislostmi s realitou se zpravidla ani nechceme nechat ovlivnit. Matematickým nástrojem pak rozumím formálně popsané a proveditelné úkony, které vstupní data převedou na nějaké výstupní informace. Matematické modely jsou zpravidla tvořeny složitými propletenci takových nástrojů a zůstávají zcela odtrženy od skutečné reality, dokud jsou v držení samotných matematiků.
Masová role matematiky jako nástroje v současné společnosti roste jen zdánlivě. Ve skutečnosti se všude kolem nás jen docela chaoticky posbírané údaje zviditelňují v řeči čísel a pochybně používaných statistik. Svedeni nevhodným názvem hodin výuky na základní škole, lidé považují za matematiku každou manipulaci s čísly a zpravidla už nic moc víc. Když jsem byl za své vojenské služby převelen na funkci specialisty na opravu elektrotechniky a upozornil jsem svého velícího důstojníka na moji skutečnou kvalifikaci matematika, nalil si panáka a odvětil „to je zlé, svojích ľudí si tunák pozrátam sám“. Zcela typický pohled.
Bez aspoň fragmentů matematického myšlení je ale nemožné skutečně kvalifikovaně používat matematické nástroje a orientovat se v záplavě dostupných informací. Právě důraz na prosté znalosti dat a jejich snadná dohledatelnost v celosvětové informační síti nás postupně více a více odvádí od abstrakce typické pro matematické úvahy a modely. Přes proklamace o „společnosti vědění“ jsme proto v současnosti hlavně svědky překotné a expanzívní katalogizace konkrétních dat a jejich ještě nedávno nevídané dostupnosti.
Zároveň jsme svědky nové expanze matematického myšlení v přírodních, technických, ekonomických i společenských vědách. Ukazuje se totiž, že stále více vědních disciplín má své vlastní vnitřní potřeby matematické nástroje nejen využívat, ale také vylepšovat, vytvářet nebo přetvářet. Právě stále složitější a rozsáhlejší datové soubory, tj. konkrétní údaje a znalosti, představují vedle čerstvě vysledovaných zákonitostí nové výzvy při hledání jejich souvislostí, kvalitativních parametrů, důsledků. V ostrém protikladu s celkovým trendem znalostní společnosti, která je spíše společností dezinformační než informační, tedy ve výzkumu stále méně stačí „znát“ a znovu je čím dále tím více potřeba „vědět“. To je obrovskou výzvou a příležitostí i pro nás matematiky, výzvou většinou opomíjenou z důvodů, ke kterým se dostanu v zápětí.
Současná exploze množství a dostupnosti dat a s ní spojené dramatické změny společnosti vznikly patrně docela spontánně díky prudkému rozvoji informačních technologií. Je
pozoruhodné, že v matematice jako samostatné vědní disciplíně, dominoval docela podobný posuv v přístupu k poznávání daleko dříve a to v souvislosti s tzv. vnitřní krizí matematiky v počátku minulého století. Tehdy se nástroji matematické logiky, s velkým přispěním právě brněnského rodáka Gödla, prokázalo, že nelze vybudovat žádnou úplnou a vnitřně dokonalou matematickou teorii. Tím byla definitivně nabourána důvěra v dlouho úspěšné intuitivní pojetí základů matematiky a odvozování matematických výsledků.
Extrémně úspěšnou reakcí byla iniciativa uzavřené skupiny skvělých francouzských matematiků, kteří si pod pseudonymem Bourbaki předsevzali naprosto korektně a logicky důsledně vybudovat všechny v té době známé matematické teorie a shrnout všechny dostupné výsledky do dlouhé řady monografií. Styl prezentace matematiky přijatý touto (po dlouhé desítky let anonymní) skupinou dovedl k dokonalosti formalismus matematických výsledků v důsledných řetězcích definice, věta, důkaz, a to vždy v maximálně možné obecnosti a abstrakci. Tím došlo k úchvatné katalogizaci matematického vědění, protože dokonale vedené abstrakce skoro vždy přinesly i podstatná rozšíření dříve známých výsledků.
Jakkoliv je zpětně známo ze vzpomínek několika dávných členů skupiny Bourbaki, že jejich vlastní styl práce byl velmi intuitivní a byl založený na důsledném porozumění velmi konkrétních případů studovaných obecných objektů, přímým dopadem fenoménu Bourbaki byl i výrazný posuv samotného paradigmatu matematiky opačným směrem.
Bezprostřední důsledky se objevily ve všech úrovních výuky a spočívaly především ve všeobecném upřednostňování abstrakce a strukturních studií před zkoumáním zvláštností na úrovni jednotlivých objektů. Na jedné straně tedy byly matematické modely v inženýrských a přírodních vědách, kde vesměs hrají hlavní roli velice speciální a unikátní objekty, zároveň se o nich ale studenti matematiky přestali doslýchat, protože nešlo o dostatečně vzletné a obecné výsledky. Na jedné straně byla až pedantská péče o dokonalost jazyka matematiky hned od 1. třídy základních škol, na druhé pak nedostatek času k tomu, aby se studenti dostali k prakticky užitečným výsledkům a bohužel čistota jazyka a prezentace výsledků vesměs neznamenala rozvoj alespoň útržků matematického myšlení mezi žáky.
Ne náhodou existují studie poukazující, že celosvětový prudký pokles financování matematického výzkumu na přelomu 20. a 21. století souvisí se skutečností, že právě v té době působili na většině manažerských pozic lidé, kteří prošli tímto obdobím matematické výuky v dobách své školní docházky. Matematiku si prostě zapamatovali jako veskrze nezáživné a patrně zbytečné přesýpání písmenek podle podivných pravidel, nic víc. Matematické myšlení v obecném smyslu slova asi mají osvojené, jen si ho s matematikou spíše nespojují.
Většina současných matematiků vyrostla v bourbakistickém světě a většina z nás stále úspěšně bádá a učí v tomto paradigmatu. Pochopitelně jen těžko a pomalu dochází k sebereflexi a novým posuvům, protože skutečně silné osobnosti se doberou vlastního myšlení, intuice i zásadních badatelských objevů v jakémkoliv myšlenkovém prostředí. Nicméně značné změny se začaly objevovat od 80. let minulého století v souvislosti s velmi intuitivními pracemi Thurstona a dalších matematiků, spolu s novou expanzí pojmů a výsledků přicházejících z matematické fyziky, ale také jako důsledek nově vznikajících oblastí „výpočtových“ větví klasických přírodních věd a teoretické informatiky.
Do tohoto proudu matematiky navracejícího se k velice intuitivním východiskům a přednostní péči o velice speciální objekty si troufám počítat i práci mezinárodního týmu, do kterého patřím. Naším východiskem je pojem skrytých symetrií objektů a pochopení jejich vlivu na rozumné a efektivní výpočetní nástroje. Jde o výzkum myšlenkově sahající přibližně 150 let zpět k tzv. Erlangenskému programu Felixe Kleina a pozdějšímu studiu speciálních geometrií v pracích matematiků 19. a 20. století.
Obzvlášť specifický je v tomto kontextu tzv. Ricciho kalkul v pseudo-Riemannovských geometriích, který je v pozadí Einsteinovy obecné relativistické teorie gravitace. Nejvýznamnější operace jsou v Einsteinově teorii ve skutečnosti více symetrické, než bychom čekali – respektují změny našeho pohledu na veličiny, které metriku zachovávají jen až na měřítka. Hovoříme o konformních pseudo-Riemannovských geometriích.
Můj zájem na počátku 90. let zažehly výsledky Penrose a jeho matematické skupiny v Oxfordu, které propojily „konformně invariantní“ chování zásadních objektů komplexifikovaných teorií vesmíru s pracemi Cartana a mnohých dalších z počátku minulého století. V tehdy dostupných pracích přitom byla invariance těchto objektů většinou prezentována jako zázračné vymizení všech obstrukčních částí jistých matematických vzorců a složitost těchto výrazů výrazně přesáhla moje schopnosti je prověřovat. Společně s kolegy Čapem a Součkem z Vídně a Prahy jsme proto zkusili intuitivně, ale důsledně, používat velmi algebraický a kategoriální přístup ke geometrickým objektům (v plné analogii k mým dřívějším pracím s Ivanem Kolářem a Peterem Michorem z Brna a Vídně). O naše výsledky projevili rychle zájem i členové původní Penroseovy skupiny a naše cesty se do značné míry propojily.
Přestože nám šlo v podstatě o důsledné pochopení příčin chování velmi konkrétních a jednotlivých objektů, vybudovali jsme překvapivý a silný kalkul, který systematicky popisuje přirozené operace v celých komplexech, typicky představujících kompletní linearizované fyzikální teorie. Společnou práci s Čapem a Součkem o tzv. BGG kalkulu přijali v Annals of Mathematics, patrně nejvíce ceněném matematickém časopisu, který vychází v Princetonu. Současně jsme byli s kolegou Čapem vyzváni nakladatelstvím Americké matematické společnosti k sepsání první monografie na toto rychle se rozvíjející téma. Tak vznikl kalkul parabolických geometrií.
Společně s mým spoluautorem, Andreasem Čapem z vídeňské univerzity, se cítíme velice poctěni oceněním, které nám již bylo propůjčeno Masarykovou univerzitou, přestože jsme sepsali teprve první díl slíbené monografie. Práce na něm nám zabrala 10 let a dalších mnoho let jistě uplyne, než dodáme díl druhý. Věřím, že se přitom bude dařit i zlepšovat pochopení pro primární roli intuice a studium velmi konkrétních, ale zato hodně zvláštních, objektů ve stále širší komunitě matematiků. Abstraktní struktury a co nejdokonalejší jazyk matematiky musí zůstat naším standardním vnitřním nástrojem, nikoliv však cílem.
Autor je držitelem Ceny rektora za významný tvůrčí čin v roce 2010