Prof. RNDr. Jiří Rosický, DrSc. (1946) vystudoval v letech 1963-68 matematiku na Přírodovědecké fakultě brněnské univerzity. Od roku 1969 působí na katedře algebry a geometrie této fakulty, od roku 1979 tuto katedru vede. Vědecky pracuje v algebře v oblasti teorie kategorií. Publikoval přes sto odborných prací a je spoluautorem monografie Locally Presentable and Accessible Categories vydané nakladatelstvím Cambridge University Press. Je vedoucím nového výzkumného záměru Matematické struktury a jejich fyzikální aplikace, členem Vědecké rady MU, vedoucím redaktorem časopisu Archivum Mathematicum vydávaným MU a členem edičních rad tří mezinárodních časopisů.Můžete přiblížit, co vás přivedlo k matematice?
Matematika mne během středoškolských studií bavila, ale nijak blíže jsem se jí nevěnoval. Když jsem pak přemýšlel, co studovat, uvažoval jsem o chemii. Byl to můj otec, který mi doporučil matematiku, a já jsem mu za tuto radu vděčný. Dala mi možnost tvůrčí práce v oblasti, k níž jsem měl předpoklady. Mám tím zejména na mysli schopnost logického a analytického myšlení, ale i fantazii a umění uplatnit estetická kritéria.
Znamená to, že matematiku chápete nejen „racionálně“, ale i esteticky?
Určitý estetický moment skutečně může hrát při matematickém uvažování roli. Matematik si musí umět vytvořit mentální představu situace, kterou se zabývá, a pracovat s ní jako s realitou. Jinými slovy představit si ten svět, který se pak finálně zobrazí určitými vzorečky a formulkami. Většinou přitom platí, že správná řešení jsou jednoduchá, elegantní a krásná. Je to samozřejmě estetika, která není přístupná každému – podobně jako hudba, která také vyžaduje určitou průpravu.
Určitý estetický moment skutečně může hrát při matematickém uvažování roli. Matematik si musí umět vytvořit mentální představu situace, kterou se zabývá, a pracovat s ní jako s realitou. Jinými slovy představit si ten svět, který se pak finálně zobrazí určitými vzorečky a formulkami. Většinou přitom platí, že správná řešení jsou jednoduchá, elegantní a krásná. Je to samozřejmě estetika, která není přístupná každému – podobně jako hudba, která také vyžaduje určitou průpravu.
Co je třeba k tomu, aby se člověk stal špičkovým matematikem?
Pro matematiku je třeba mít talent, takže důležitou roli hrají jistě geny. Toto však není specifikum matematiky, platí to i v mnoha dalších oblastech. Pak je samozřejmě nutná tvrdá, systematická a dlouhodobá práce. Kromě toho však potřebuje matematik mít na počátku své kariéry dobré vedení, protože když začíná, těžko dokáže rozlišit oblasti, kterým stojí za to se věnovat, od těch ostatních. V mém případě to byl školitel mé disertační práce Milan Sekanina, který mě přivedl k oblasti matematiky, jíž se dodnes věnuji, tedy teorii kategorií.
Pro matematiku je třeba mít talent, takže důležitou roli hrají jistě geny. Toto však není specifikum matematiky, platí to i v mnoha dalších oblastech. Pak je samozřejmě nutná tvrdá, systematická a dlouhodobá práce. Kromě toho však potřebuje matematik mít na počátku své kariéry dobré vedení, protože když začíná, těžko dokáže rozlišit oblasti, kterým stojí za to se věnovat, od těch ostatních. V mém případě to byl školitel mé disertační práce Milan Sekanina, který mě přivedl k oblasti matematiky, jíž se dodnes věnuji, tedy teorii kategorií.
Nakolik je pro vás matematika hrou a nakolik tvrdou prací či dokonce řeholí?
Nejzábavnější jsou věci, když je začínáte. Pak se z toho vždy stane práce. Řehole je asi moc silné slovo, ale bez té práce to nejde, což ostatně platí o čemkoliv. Asi také není zábava být osm hodin denně na kurtu, když hrajete profesionálně tenis… Pokud by se člověk chtěl jenom bavit, tak by měl začít dělat něco jiného, ale pak by se zase nikam nedostal. Přesto musím říct, že ten pocit z toho, když se něco podaří, je vzrušující.
Matematika byla v systému vzdělávání dlouho preferovaným oborem. V poslední době jako by z této privilegované pozice ustupovala, o čemž svědčí například zrušení povinné maturity z matematiky po roce 1990. Jak tento trend vnímáte?
Je třeba si nejprve odpovědět na otázku, k čemu je vlastně matematika dobrá. Podle mě by matematika měla hrát v systému vzdělávání dvojí roli, praktickou a kulturní. Ta první znamená, že matematika je užitečná v mnoha dalších oblastech, na které se aplikuje. Tou druhou mám na mysli výchovu k objektivnímu, logickému a korektnímu myšlení, vnímání skutečnosti a faktů. Podobnou roli hrála kdysi latina jako ucelený systém, kde platila určitá pravidla a který si osvojovali všichni gymnazisté. Vyřazení matematiky z povinné části maturity proto považuji za nešťastné – ne pro matematiku, protože člověk nikdy nechce, aby se z jeho oboru stalo něco, čím se ostatní trápí, ale pro vzdělání samotné. Vnímám to jako součást obecné tendence nahrazovat „tvrdší“ věci „měkčími“.
Máte dojem, že se na určité nechuti žáků a studentů k matematice podílí i způsob, jakým je vyučována?
Určitě na tom hodně záleží. Matematice a učitelům matematiky se podařilo přehnaně mechanickým přístupem odradit hodně studentů, kteří by o ni mohli mít zájem. Po studentech by se nemělo chtít jenom počítat určité příklady nebo memorovat fakta. Učitel by měl umět vyvolat zájem, pokusit se ukázat, co je to matematické uvažování, čím může být matematika v určitých oblastech prospěšná. Látku často lépe vysvětlí vhodné motivační příklady než nějaké formální vysvětlování za pomoci výrazů typu „nechť je X…“ Matematika tak ztrácí své potenciální příznivce a uživatele. Ale na druhou stranu se takový výklad nesmí rozředit v nicneříkající plácání. Neexistuje žádná cesta zadarmo.
Když jsme u tohoto tématu, jak se díváte na využívání výpočetní techniky při výuce matematiky? Většinu operací za studenty provede počítač, na základních školách mají děti namísto logaritmických tabulek kalkulačku…
Ano, to je jedna z věcí, které jsou už jen v muzeu, a je to samozřejmě jedině dobře. Počítače zbavují všechny uživatele nutnosti provádět určité rutinní matematické výkony. Tak jako dnes nepotřebujete logaritmické pravítko nebo tabulky, tak za nějakou dobu už třeba nebude nikdo umět násobit nebo dělit jinak než tím kliknutím. Je to přirozený proces, který bych sám o sobě nevnímal negativně. Ale lidé by neměli ztratit schopnost vědět, o co se v těch operacích jedná. To je nebezpečí a důvod, proč by se matematika neměla z výuky vytratit.
Myslíte si tedy, že stále větší využívání počítačů s sebou nepřináší náhradu „matematického“ myšlení za „počítačové“?
To není náhrada. Když má student při písemce u sebe počítač, tak to není žádný problém. Ať si každý použije, co chce. Matematika není počítání, jde spíše o myšlenky, o postupy. Cokoliv, co vám ušetří práci s nějakým postupem, je dobré. Nakonec, správný matematik musí být svým způsobem líný, aby neinvestoval intelektuální energii zbytečně, ale tam, kde je to potřeba. Takže rozvoj počítačů matematice pomáhá a její význam podle mého názoru posiluje, nikoli oslabuje. Postupně eliminuje některé její rutinní složky, činí ji však potřebnější jako pojmový a koncepční aparát, bez něhož může dojít k omylům v interpretaci získaných početních výsledků.
Mohou počítače významným způsobem zasáhnout i do té oblasti vývoje koncepcí a interpretací? Jako bývalého aktivního šachisty se vás nemohu nezeptat – budou jednou počítače porážet vedle šachových mistrů i špičkové matematiky?
Tak to nejspíš ne. Šachové programy pracují formou masivního prohledávání stromu možností, obohaceného o určité prvky odhadu. To z nich může udělat špičkové hráče, ale právě jen díky tomu, že šachy jsou přece jenom založeny na určitém algoritmu, kdežto v matematice nic takového dané není.
V současné době mají počítače pro matematika hlavní přínos jako úžasný prostředek komunikace a získávání informací. Pro rozvoj samotné matematiky, jako prostředek výzkumu, mají zatím menší význam, než by laik možná očekával. S výjimkou některých oblastí, jako je kombinatorika a teorie čísel, zatím neumožňují získání nových, závažných výsledků. Matematika většinou pracuje s nekonečnem, s abstrakcemi, a to počítač provádět nemůže. V tomto ohledu to tedy nevypadá, že bychom přišli o práci; naopak bych řekl, že ta práce přibyla. Počítače otevřely pro matematiku novou a velkou oblast aplikací, neboť vznikla nová vědní oblast – matematická informatika.
Kdyby se setkal dnešní biolog nebo fyzik se svým kolegou z 18. století, asi by si mnoho nerozuměli – těžko by našli společný jazyk pro popis svého světa. Našli by ho matematikové? Zabývají se pořád ještě problémy, které řešili jejich předchůdci z minulých století?
Asi by ho našli snáze. Lze to ilustrovat na příkladě „poločasů citovanosti“ různých autorů: v matematice bývají delší než v jiných vědách. Nebývá zvykem, že by článek napsaný před třiceti lety byl třeba v chemii stále aktuální, kdežto v matematice ano. Pokud mám uvést příklad problému, který přetrval staletí, jeden takový se týká Pythagorovy věty. Každý ví, že její rovnice zní x2 + y2 = z2 a že její řešení v přirozených číslech je například 32 + 42 = 52. Francouzský matematik Pierre de Fermat někdy v polovině 17. století napsal na okraj jakési knihy, kterou právě studoval, že tato rovnice nemá v přirozených číslech řešení pro žádný exponent větší než dvě, ale že nemá dost místa, aby to prokázal. Ten důkaz se po něm snažili nalézt mnozí, ale povedlo se to až v devadesátých letech 20. století anglickému matematikovi Andrew Wilesovi. Vypadá to jako elementární problém, ale metody, které byly k důkazu použity, v žádném případě elementární nebyly. Naopak – je to jeden z největších intelektuálních výkonů v matematice. Wiles na tom pracoval sedm let. A existují i další problémy a hypotézy, které na svá řešení teprve čekají, ale matematika zatím nemá k dispozici prostředky, jak to provést.
Nejzábavnější jsou věci, když je začínáte. Pak se z toho vždy stane práce. Řehole je asi moc silné slovo, ale bez té práce to nejde, což ostatně platí o čemkoliv. Asi také není zábava být osm hodin denně na kurtu, když hrajete profesionálně tenis… Pokud by se člověk chtěl jenom bavit, tak by měl začít dělat něco jiného, ale pak by se zase nikam nedostal. Přesto musím říct, že ten pocit z toho, když se něco podaří, je vzrušující.
Prof. RNDr. Jiří Rosický, DrSc. Foto: Ondřej Ženka.
Je třeba si nejprve odpovědět na otázku, k čemu je vlastně matematika dobrá. Podle mě by matematika měla hrát v systému vzdělávání dvojí roli, praktickou a kulturní. Ta první znamená, že matematika je užitečná v mnoha dalších oblastech, na které se aplikuje. Tou druhou mám na mysli výchovu k objektivnímu, logickému a korektnímu myšlení, vnímání skutečnosti a faktů. Podobnou roli hrála kdysi latina jako ucelený systém, kde platila určitá pravidla a který si osvojovali všichni gymnazisté. Vyřazení matematiky z povinné části maturity proto považuji za nešťastné – ne pro matematiku, protože člověk nikdy nechce, aby se z jeho oboru stalo něco, čím se ostatní trápí, ale pro vzdělání samotné. Vnímám to jako součást obecné tendence nahrazovat „tvrdší“ věci „měkčími“.
Máte dojem, že se na určité nechuti žáků a studentů k matematice podílí i způsob, jakým je vyučována?
Určitě na tom hodně záleží. Matematice a učitelům matematiky se podařilo přehnaně mechanickým přístupem odradit hodně studentů, kteří by o ni mohli mít zájem. Po studentech by se nemělo chtít jenom počítat určité příklady nebo memorovat fakta. Učitel by měl umět vyvolat zájem, pokusit se ukázat, co je to matematické uvažování, čím může být matematika v určitých oblastech prospěšná. Látku často lépe vysvětlí vhodné motivační příklady než nějaké formální vysvětlování za pomoci výrazů typu „nechť je X…“ Matematika tak ztrácí své potenciální příznivce a uživatele. Ale na druhou stranu se takový výklad nesmí rozředit v nicneříkající plácání. Neexistuje žádná cesta zadarmo.
Když jsme u tohoto tématu, jak se díváte na využívání výpočetní techniky při výuce matematiky? Většinu operací za studenty provede počítač, na základních školách mají děti namísto logaritmických tabulek kalkulačku…
Ano, to je jedna z věcí, které jsou už jen v muzeu, a je to samozřejmě jedině dobře. Počítače zbavují všechny uživatele nutnosti provádět určité rutinní matematické výkony. Tak jako dnes nepotřebujete logaritmické pravítko nebo tabulky, tak za nějakou dobu už třeba nebude nikdo umět násobit nebo dělit jinak než tím kliknutím. Je to přirozený proces, který bych sám o sobě nevnímal negativně. Ale lidé by neměli ztratit schopnost vědět, o co se v těch operacích jedná. To je nebezpečí a důvod, proč by se matematika neměla z výuky vytratit.
Myslíte si tedy, že stále větší využívání počítačů s sebou nepřináší náhradu „matematického“ myšlení za „počítačové“?
To není náhrada. Když má student při písemce u sebe počítač, tak to není žádný problém. Ať si každý použije, co chce. Matematika není počítání, jde spíše o myšlenky, o postupy. Cokoliv, co vám ušetří práci s nějakým postupem, je dobré. Nakonec, správný matematik musí být svým způsobem líný, aby neinvestoval intelektuální energii zbytečně, ale tam, kde je to potřeba. Takže rozvoj počítačů matematice pomáhá a její význam podle mého názoru posiluje, nikoli oslabuje. Postupně eliminuje některé její rutinní složky, činí ji však potřebnější jako pojmový a koncepční aparát, bez něhož může dojít k omylům v interpretaci získaných početních výsledků.
Mohou počítače významným způsobem zasáhnout i do té oblasti vývoje koncepcí a interpretací? Jako bývalého aktivního šachisty se vás nemohu nezeptat – budou jednou počítače porážet vedle šachových mistrů i špičkové matematiky?
Tak to nejspíš ne. Šachové programy pracují formou masivního prohledávání stromu možností, obohaceného o určité prvky odhadu. To z nich může udělat špičkové hráče, ale právě jen díky tomu, že šachy jsou přece jenom založeny na určitém algoritmu, kdežto v matematice nic takového dané není.
V současné době mají počítače pro matematika hlavní přínos jako úžasný prostředek komunikace a získávání informací. Pro rozvoj samotné matematiky, jako prostředek výzkumu, mají zatím menší význam, než by laik možná očekával. S výjimkou některých oblastí, jako je kombinatorika a teorie čísel, zatím neumožňují získání nových, závažných výsledků. Matematika většinou pracuje s nekonečnem, s abstrakcemi, a to počítač provádět nemůže. V tomto ohledu to tedy nevypadá, že bychom přišli o práci; naopak bych řekl, že ta práce přibyla. Počítače otevřely pro matematiku novou a velkou oblast aplikací, neboť vznikla nová vědní oblast – matematická informatika.
Kdyby se setkal dnešní biolog nebo fyzik se svým kolegou z 18. století, asi by si mnoho nerozuměli – těžko by našli společný jazyk pro popis svého světa. Našli by ho matematikové? Zabývají se pořád ještě problémy, které řešili jejich předchůdci z minulých století?
Asi by ho našli snáze. Lze to ilustrovat na příkladě „poločasů citovanosti“ různých autorů: v matematice bývají delší než v jiných vědách. Nebývá zvykem, že by článek napsaný před třiceti lety byl třeba v chemii stále aktuální, kdežto v matematice ano. Pokud mám uvést příklad problému, který přetrval staletí, jeden takový se týká Pythagorovy věty. Každý ví, že její rovnice zní x2 + y2 = z2 a že její řešení v přirozených číslech je například 32 + 42 = 52. Francouzský matematik Pierre de Fermat někdy v polovině 17. století napsal na okraj jakési knihy, kterou právě studoval, že tato rovnice nemá v přirozených číslech řešení pro žádný exponent větší než dvě, ale že nemá dost místa, aby to prokázal. Ten důkaz se po něm snažili nalézt mnozí, ale povedlo se to až v devadesátých letech 20. století anglickému matematikovi Andrew Wilesovi. Vypadá to jako elementární problém, ale metody, které byly k důkazu použity, v žádném případě elementární nebyly. Naopak – je to jeden z největších intelektuálních výkonů v matematice. Wiles na tom pracoval sedm let. A existují i další problémy a hypotézy, které na svá řešení teprve čekají, ale matematika zatím nemá k dispozici prostředky, jak to provést.
Profesor Rosický s typickou ukázkou teorie kategorií. Písmena označují objekty, šipky transformace. Foto: Ondřej Ženka.
Asi by bylo dobré začít tím, čím se vlastně matematika zabývá. Každý se setkal s objekty zájmu matematiky, jako jsou čísla, funkce, geometrické útvary, vektory, matice a případně dalšími. Matematika však pracuje i s řadou dalších objektů, které člověk kolem sebe běžně nevidí a které vznikly během určitého procesu abstrakce. Dobrým příkladem jsou grupy, které popisují symetrie – mohou to být symetrie geometrických útvarů, například čtverce, ale i symetrie krystalů (krystalografie) nebo dokonce symetrie světa elementárních částic, kde teorie grup hraje velmi významnou roli. Grupy jsou příkladem algebraické struktury, neboť jejich hlavním rysem je, že symetrie můžeme skládat tak, že nejdříve necháme působit první a po ní druhou, což je analogie algebraické operace násobení čísel.
Odborně se zabývám teorií kategorií, což je oblast algebry, která vznikla v polovině minulého století. Jedná se o velmi abstraktní teorii, vycházející z myšlenky, že při studiu matematických objektů je třeba věnovat pozornost i jejich změnám. Pod změnami se chápou transformace objektů – soubor objektů daného typu a jejich transformací pak tvoří kategorii. Můžeme si ji představit jako „svět“ objektů daného typu, umožňující jednotný přístup k zdánlivě odlišným jevům. Teorie kategorií se proto uplatňuje v celé řadě oblastí matematiky, například v algebře, algebraické topologii či v algebraické geometrii.
Mohl byste zmínit nějaké konkrétní příklady využití této teorie i mimo samotnou matematiku?
Jako mnoho dalších matematických teorií, kategorie začaly od svého vzniku žít svým vlastním životem a objevily se i jejich neočekávané aplikace. Objevují se například v matematické logice, kde popisují odvozování v rámci určitého souboru tvrzení. Podobně se kategorie dostanou do matematické informatiky, pokud vezmeme svět stavů počítače, jejichž transformacemi jsou výpočty. Ještě překvapivěji může působit výskyt kategorií v kvantové teorii pole. Zde se jedná o přístup k problematice kvantové gravitace, spočívající v přechodu z geometrického světa teorie relativity do algebraického světa kvantové mechaniky. Tento přechod (funktor) může oba světy propojit, což je cílem teorie kvantové gravitace.
Právě propojení teorie matematických struktur s problematikou kvantové gravitace je těžištěm nového výzkumného záměru, který je od roku 2005 realizován pod vaším vedením na Přírodovědecké fakultě. Můžete ho blíže představit?
Výzkumný záměr sdružuje matematiky pracující v algebře, geometrii a matematické analýze s teoretickými fyziky, zejména s vynikající skupinou zaměřenou na kvantovou gravitaci, kterou vede Rikard von Unge. Musím říci, že ze spojení matematiků s fyziky ve společném výzkumném projektu mám velkou radost a hodně si od něho slibuji. Za těžiště výzkumného záměru považuji diferenciální geometrii, což je vlastně spojení geometrie s matematickou analýzou. Má významné fyzikální aplikace, mimo jiné je jazykem, v němž je formulována obecná teorie relativity. Zde se jedná o velice aktuální snahu o jednotnou fyzikální teorii, o niž se dlouhá léta marně pokoušel Albert Einstein a kde právě chybí sjednocení obecné teorie relativity s kvantovou teorií. V současné době se jeví jako nejslibnější přístup teorie strun, která má hluboké souvislosti s důležitými oblastmi matematiky a která k nim již také přinesla nové metody a poznatky. Právě tuto teorii strun studujeme v naší fyzikální skupině.
Řekl byste, že třeba tato část výzkumného záměru má potenciál na to, aby se v této „ostře sledované“ oblasti významným způsobem projevila na světové úrovni?
Teď je módou, že se každý chválí, to já nemám moc rád. Věřím však, že všechny oblasti výzkumného záměru jsou schopny obohatit výzkum na mezinárodní úrovni. Nepochybuji, že se našemu týmu podaří důstojně rozvíjet dlouholetou a úspěšnou tradici matematiky na Masarykově univerzitě s vrcholem ve třicátých letech minulého století, kdy zde působil Eduard Čech, pravděpodobně největší český matematik světového významu – mimochodem právě jemu se podařilo zásadním způsobem ovlivnit rozvoj algebraické topologie. Jsme si dobře vědomi těchto čechovských tradic. Bylo by pěkné, kdyby se k němu někdo přiblížil, ale jsou některé intelektuální výkony, které člověk může jenom obdivovat. A také je třeba umět být v pravou chvíli na pravém místě, štěstí přeje připraveným.
